حل تشریحی سوالات ریاضیات گسسته - کنکور ارشد مهندسی کامپیوتر 1401

کدام یک از هم ارزی های منطقی زیر، (به ترتیب الف و ب) همیشه برقرار است؟

الف) $\neg \left(\exists x\left[P\left(x\right)\wedge Q\left(x\right)\right]\right)=\forall x\left[P\left(x\right)\to \neg Q\left(x\right)\right]$

ب) $\left(\left(p\to q\right)\wedge \left(\left(q\wedge r\right)\to s\right)\wedge r\right)\to \left(p\to s\right)=True$

کدام یک از گزاره های زیر به ترتیب درست است؟

الف) مجموعه تمام دنباله‌های اکیدا صعودی از اعداد طبیعی شمارا است.

ب) مجموعه تمام دنباله های اکیدا نزولی از اعداد طبیعی شمارا است.

جایگشتی از اعداد 1 تا n که در ان هیچ عدد i در محل iام قرار نگرفته باشد، یک پریش نام دارد. فرض کنید $D_n$ برابر تعداد پریش‌های مختلف اعداد 1 تا n باشد. کدام رابطه بازگشتی برای $D_n$ به ازای $\left(n>2\right)$ برقرار است؟

کدام یک از گزاره های زیر به ترتیب درست است؟

الف) به ازای هر عدد طبیعی دلخواه مانندk ، اعداد 9k+4 و 2k+1 نسبت به هم اول هستند

ب) معادله $\left(n-1\right)!+1=n^2$ در مجموعه اعداد طبیعی تنها یک جواب دارد.

رابطه R را روی مجموعه A در نظر بگیرید. با استفاده از R رابطه S را به شکل زیر تعریف میکنیم:

$xSy\leftrightarrow xRy\vee yRx$

کدام مورد در خصوص گزاره های زیر به ترتیب، درست است؟

الف) اگر R ترایایی باشد، انگاه S نیز لزوما ترایایی است.

ب) اگر R هم‌ارزی باشد، انگاه S نیز لزوما هم‌ارزی است.

فرض کنید طول کوتاه ترین دور در گراف ساده G برابر 5 باشد. همچنین فرض کنید درجه تمام راس های G برابر K است. کدام مورد زیر هموتره درست است؟